Hur många möjligheter
•
Låt säga att vi vill placera ut fyra personer på fyra stolar. På hur många sätt kan vi då placera ut dessa personer på de fyra stolarna? För att besvara detta kan vi resonera på följande vis.
- Till stol 1 kan vi välja mellan 4 personer.
- Till stol 2 kan vi välja mellan 3 personer.
- Till stol 3 kan vi välja mellan 2 personer.
- Till den sista stolen kan vi välja 1 person.
Antalet sätt att placera ut personerna blir då $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$4·3·2·1=24 olika sätt. Dessa $24$24 varianter kallas också för permutationer.
Exempel 1
Du skall välja en fyrsiffrig kod där varje siffra endast får förekomma en gång. Du kan välja mellan siffrorna 1-9. På hur många sätt kan denna kod skapas?
Lösning
Här gäller att om en siffra är vald till koden så får den inte förekomma igen. Därför kommer antalet siffror att välja på minska till varje ny siffra som skall väljas.
Till den första siffran finns $9$9 olika siffror att välja mellan.
Till den andra siffran finns $8$8 olika siffror a
•
Kombinationer
I det förra avsnittet bekantade vi oss med begreppet permutation och lärde oss att beräkna antalet permutationer då k element väljs av n element, vilket vi skrev P(n, k).
I det här avsnittet ska vi introducera begreppet kombination, lära oss hur kombinationer förhåller sig till permutationer och hur vi kan beräkna antalet kombinationer.
Kombinationer
När vi i det förra avsnittet studerade permutationer utgick vi från en mängd bestående av n stycken element och valde sedan ut k av dessa element, och tog hänsyn till ordningen som de utvalda elementen hamnade i. Detta antal permutationer betecknade vi P(n, k) och beräknade på följande sätt:
$$P(n,\,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$
där 0 ≤ k ≤ n.
Har vi till exempel en mängd {a, b, c, d} och ska välja tre av dessa fyra element, då kan vi med hjälp av formeln ovan beräkna att antalet permutationer är 24. Av dessa 24 permutationer kommer bland annat följande val av element alla att innehålla samma tre element, men utgöra se
•
Kombinera siffrorna 2,4,7, 8
Denna uppgift är en kombinatoriksuppgift, Tema.
Uppgift
"August kommer ihåg att en portkod innehåller siffrorna 1,4, 7,8, men han kommer inte ihåg ordningen på siffrorna.
a) På hur många olika sätt kan han kombinera siffrorna 2,4,7 och 8?
b) August chansar och trycker koden 7482. Hur stor är chansen att låset öppnas?"
Räknar jag antal möjliga siffror (4 stycker) med antal möjliga siffror, som är 4, så blir svaret: 4 * 4 * 4 * 4 = 256. Det är min ena lösning.
Andra lösningen är att utgå från att man låser första kombinationen och sedan får får välja övriga siffror som också låses: det vill säga 4 kombinationer på första siffran, tre på andra siffran, 2 på andra siffran och 1 kombination på sista siffran, då blir svaret 4! = 4*3*2*1 = 24. Vilker överenstämmer med facit.
Men informationen är väldigt knapphändig. Någon som vet hur de som gör dessa slags uppgifter resonerar? Att man bara ska anta och titta i facit? Verkar som d